Je ne peux te répondre que pour Pôle Emploi :
Tu fais ton actualisation normalement, en déclarant être toujours à la recherche d’un emploi (ce qui te permet de ne pas être radié).
Tu déclares avoir travaillé dans le mois, ils te demanderont le nombre d’heures réel ou estimé (ça sera vérifié avec les données déclarées par ton « employeur »).
Si ta solde de GAV est inférieure à ton indemnité chômage, tu recevras un complément de Pôle Emploi pour compenser la différence. Sinon, tu ne toucheras rien de plus, mais tu resteras inscrit.
Tant que tu as des droits, autant procéder comme ça. Surtout que c’est une sécurité aussi, au cas où tu lâcherais la gendarmerie en cours de route (j’imagine que tu n’en as pas l’intention, mais sait-on jamais).